INTRODUCCIÓN
Los gráficos de control por variables permiten estudiar la calidad de características numéricas. Proporcionan más información que los gráficos de control por atributos sobre el rendimiento del proceso y permiten procedimientos de control más eficaces. En particular, se obtiene más información sobre las causas que producen una situación fuera de control. Asimismo detectan mejor pequeñas variaciones del proceso. Los tamaños muestrales requeridos para un nivel de protección del proceso son menores.Los gráficos de control por variables más usuales son los que controlan el valor medio y la variabilidad del proceso. Más concretamente, para el control de la variabilidad del proceso, existen los gráficos del rango, la desviacion tópica y la varianza. A partir de estos gráficos se obtiene una estimación de los parámetros del proceso, así como una aproximación de su capacidad o rendimiento.
Existen otros gráficos por variables que utilizan la información suministrada por varias muestras; se construyen a partir de una secuencia de estadísticos muestrales, en contraste con los gráficos anteriores, que tan sólo utilizan la información de una muestra. Estos gráficos permiten detectar pequeños cambios en la media del proceso, corrigiendo asó la ‘incapacidad’ de los gráficos anteriores, para controlar pequeñas variaciones. En este sentido, esta investigación tiene como finalidad hacer un análisis de un tipo de grafico de control por variables denominado gráficos de sumas acumuladas o gráficos CUSUM, iniciando por sus aspectos básicos y finalizando con su aplicación en las áreas que el corresponde.
APLICACIÓN DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES CUSUM
Gráficos de Control de Variables
En cualquier proceso productivo resulta conveniente conocer en todo momento hasta qué punto nuestros productos cumplen con las especificaciones preestablecidas. Se tiene que la calidad de un producto tiene dos grandes enemigos: las desviaciones con respecto al objetivo especificado (falta de exactitud), y una excesiva variabilidad respecto a los valores deseables (falta de precisión).De allí, la UOC (2010) afirma que "la idea consiste en extraer muestras de un proceso productivo que se encuentra activo y, a partir de las mismas, generar gráficos que nos permitan tanto estudiar la variabilidad del mismo como comprobar si los productos obtenidos cumplen o no con las especificaciones preestablecidas" (p. 17). En caso de apreciar en tales gráficos tendencias no aleatorias o bien muestras que se sitúen más allá de los límites de control se considerará que el proceso está fuera de control. Si así ocurre, se estará interesado en averiguar las causas especiales que afectan al proceso.
En este sentido, Verdoy, P. y otros (2006), definen a los gráficos de control como "el que se representa el comportamiento de un proceso anotando sus datos ordenados en el tiempo" (p. 110). Entonces, el objetivo principal de los gráficos de control es detectar lo antes posible cambios en el proceso que puedan dar lugar a la producción de unidades defectuosas, y ello se consigue minimizando el tiempo que transcurre desde que se produce un desajuste hasta que se detecta.
En un gráfico de control se representa gráficamente una característica de calidad T, medida o calculada a partir de muestras del producto, en función de las diferentes muestras. La gráfica tiene una línea central que simboliza el valor medio de la característica de calidad. Finalmente, otras dos líneas (los límites superior e inferior de control) flanquean a la anterior a una distancia determinada. Estos límites son escogidos de manera que si el proceso está bajo control, casi la totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos.
Así, un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera sistemática o no aleatoria, también se tendría un proceso fuera de control (Ver Figura Nº 1).
Figura Nº 1. Modelo de Gráficos de Control de Variables
Fuente: UOC (2010)
La determinación de los límites de control se basa en conceptos y resultados estadísticos: suponiendo que, p.e., está interesado en “controlar la media µ de una variable aleatoria X cuya distribución tiene una desviación estándar σ (µ y σ constantes durante el proceso). Se sabe que, para un tamaño muestral n grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal con media igual a µ y desviación estándar igual a σ/√n . De este hecho se deduce que aproximadamente el 99,7% de las medias muestrales estarán contenidas en el intervalo µ ± 3 * σ/√n, intervalo que viene definido por los límites de control. Este sencillo razonamiento es la base para la construcción de todos los gráficos de control.
Al respecto, se pueden distinguir dos grandes clases de gráficos de control: los gráficos de control por variables hacen uso de estadísticos obtenidos a partir de datos tales como la longitud o grosor de un elemento, mientras que los gráficos de control por atributos se basan en frecuencias tales como el número de unidades defectuosas. Así, en los gráficos de control por variables es posible medir la característica de calidad a estudiar.
En estos casos conviene describir la característica de calidad mediante una medida de tendencia central (usualmente la media muestral) y una medida de su variabilidad (usualmente el rango o la desviación estándar). Los gráficos de control por variables son más sensibles que los gráficos de control por atributos, razón por la cual son capaces de avisar posibles problemas de calidad incluso antes de que éstos sean ya relevantes. En este sentido, los autores antes mencionados señalan que se denominan gráficos de control por variables a:
Los gráficos de control para características continuas del producto o del proceso tales como: contenido en cm3 de un líquido, peso de un saco de pienso, viscosidad de una resina, intensidad de una tinta, temperatura de un homo, etc. las cuales, cuando el proceso está en estado de control, se distribuyen en general según la ley normal, es decir, si no se distribuyen las observaciones individuales. si lo hacen las medias para tamaño suficientemente grande (teorema central del límite). (p. 112)
Un proceso del cual se está controlando una característica continua puede abandonar ese estado de control por verse afectada su media, su variabilidad o ambas a la vez. Por su parte, los gráficos de control por atributos tienen la ventaja de sintetizar de forma rápida toda la información referida a diferentes aspectos de calidad de un producto, ya que permiten clasificar éste como aceptable o inaceptable; además, no suelen necesitar de sistemas de medición muy complejos y son más fácilmente entendibles por los no especialistas.
Gráficos de Sumas Acumuladas o Gráficos CUSUM
El gráfico CUSUM fue propuesto por primera vez durante la década de 1950. Consiste en una gráfica de control de tiempo ponderado que muestra las sumas acumuladas (CUSUMs) de las desviaciones de cada valor de la muestra con respecto al valor objetivo. Debido a que es acumulada, aún la menor desviación en la media del proceso conducirá a valores de desviación acumulados en constante aumento o disminución. Por su parte, Hansen, B. y Ghare, P. (1989), explican que "el gráfico utiliza una suma móvil que incluye sólo secuencia de datos recientes que indica un posible cambio en la medida del proceso" (p. 133). Es de allí, que este tipo de grafico sea más eficiente para detectar pequeños cambios en la media del proceso.Por lo tanto, esta gráfica resulta especialmente útil para detectar cambios lentos con respecto al valor objetivo debido a desgaste de la máquina, problemas de calibración, etc. El desarrollo de una tendencia ascendente o descendente indica que la media del proceso ha cambiado y usted debería buscar causas especiales. Los puntos de la gráfica se pueden basar en observaciones individuales o de subgrupos. Cuando los datos están en subgrupos, se calcula la media de todas las observaciones en cada subgrupo. Los estadísticos CUSUM se calculan, entonces, a partir de estas medias. Cuando tenga observaciones individuales, las estadísticas de estos gráficos se calculan a partir de observaciones individuales.
Cabe destacar que el gráfico CUSUM utiliza la sucesión completa, y para ello parte el siguiente razonamiento: Para cada muestra calcula su desvío respecto al valor nominal Xi -po. Si el proceso estuviese realmente centrado en “po”, algunos desvíos resultarían positivos, otros negativos, y su suma acumulada debería tender a cero. Por este motivo, toma como estadístico de control a la suma acumulada hasta i=m la e-mésima muestra definida por: Sm =^(Xi -po), la cual debería, en caso de i=i que el proceso esté bajo control, aproximarse a cero en la medida en que “m” aumente.
Si la media del proceso llegara a sufrir un desajuste, se presentará un desequilibrio entre los desvíos positivos y los negativos, y la suma acumulada se incrementará positivamente si el deslizamiento es hacia un valor mayor que “po” , o negativamente en caso contrario. La siguiente figura muestra un gráfico CUSUM en donde la media del proceso ha sufrido un presunto deslizamiento hacia un valor mayor que el nominal, y la suma acumulada ha comenzado a crecer indefinidamente.
Figura Nº 2. Gráfico CUSUM para desviaciones acumuladas
Fuente: Arvelo, A. (2008)
El principal problema que tropezó este gráfico inicial CUSUM fue la ausencia de unos límites de control para la suma acumulada que permitieran detectar cuando el proceso se ha desajustado. La solución de este problema condujo a dos variantes del gráfico conocidas como el CUSUM algorítmico y la plantilla o mascarilla V. Para construir estos gráficos, es necesario definir un valor "k” llamado "valor de referencia”, que representa el mayor deslizamiento en la media del proceso que podría tolerarse, y a partir del cual la suma acumulada se considera significativa y en consecuencia el proceso fuera de control.
El valor de "k” también depende de la probabilidad con que se quiera detectar un deslizamiento, y su metodología de cálculo es distinta en el CUSUM algorítmico y para la plantilla V. El CUSUM CUSUM algorítmico, considera dos sumas acumuladas, la de los desvíos positivos llamada Ci+ y la de los negativos Ci- , y la gráfica de control toma la siguiente apariencia:
Figura Nº 3. Gráfico CUSUM algorítmico
Fuente: Arvelo, A. (2008)
Mientras que en el de la plantilla "V” esta otra:
Figura Nº 4. Gráfico CUSUM en V
Fuente: Arvelo, A. (2008)
La mascarilla "V” se centra en el punto "O” correspondiente a la suma acumulada de desviaciones hasta la última muestra y a partir de allí, se trazan sus brazos. Si todos los puntos correspondientes a las sumas acumuladas anteriores caen dentro de los brazos, el proceso se considera dentro de control. Debido a la dificultad de los cálculos requeridos para su construcción, la mascarilla "V” tuvo poca difusión en sus comienzos; pero con la aparición de los recientes programas estadísticos, su uso ha comenzado a tener gran aceptación.
También existen gráficas CUSUM destinadas a controlar la variabilidad del proceso, las cuales también suponen normalidad. Hawkins (1993) hizo un estudio comparativo entre los gráficos de Shwehart con límites tres sigmas y los gráficos CUSUM, basando su comparación en el ARL de cada una. Concluye que "Cuando el proceso está bajo control ambas gráficas dan aproximadamente la misma probabilidad de error tipo I y un ARL aproximadamente igual; mientras que para procesos fuera de control, el ARL varía considerablemente de una gráfica a otra" (p. 98); y presenta tablas comparativas (Ver Tabla Nº 1), donde se aprecia que el ARL del gráfico CUSUM resulta por lo general significativamente menor que el de la gráfica Shwehart, frente a una misma magnitud “5” del deslizamiento en la media del proceso.
Tabla Nº 1. ARL(8) para gráficos CUSUM y Shwehart Comparables “5” representa la magnitud relativa del deslizamiento en la media del proceso expresada en términos de “CT” desviación estándar poblacional
8 CUSUM Shwehart
0 500 500
0,5 30 214,5
1 10,5 65,2
1,5 5,4 18,2
2 3,4 7,35
3 2,6 2
Fuente: Arvelo, A. (2008)
Aplicación de los Gráficos CUSUM
El gráfico CUSUM (sumas acumuladas) puede ser aplicado en áreas muy variadas tales como control de procesos industriales, administración, ciencias médicas, marketing, comercio, biología, entre otros. Haciendo énfasis en la aplicación de los gráficos CUSUM el control de procesos industriales, se tiene que estos surgieron como una alternativa a los gráficos Shewart para detectar cambios moderados en los parámetros del proceso (en torno a 0.5-2 o, siendo o la desviación estándar de los valores observables). Las diferencias principales entre los dos gráficos se deben a los objetivos que persiguen.Mientras que el objetivo de los gráficos Shewart es detectar la aparición de causas asignables de variabilidad, el objetivo del CUSUM es algo diferente. Durante el control con CUSUM se desea fabricar en torno a un valor nominal o target T y se pretende detectar cualquier evidencia de alejamiento por parte del proceso de T en una magnitud superior a un valor preestablecido. Este valor T puede ser, dependiendo de la característica a estudio:
Un valor constante: el valor nominal de una variable continua, la varianza del proceso o2, una proporción de individuos defectuosos p, etc.
Un valor no constante: los valores que predice un modelo teórico.
Para la presentación de los gráficos CUSUM, se muestra el caso particular en el que se pretende controlar la media de cierta característica y en tal caso 7=µ. A igual que en los gráficos X ̅-R se han de tomar muestras de tamaño n del proceso, a intervalos de tiempo equidistantes, y se ha de calcular la media x ̅ y el recorrido, Ri. A partir de estos datos, en cada instante k, se obtiene el estadístico Ck.
Que es el que se llevará al gráfico CUSUM. Este valor acumula las discrepancias de los valores observados respecto al valor nominal. Si el proceso está bajo control produciendo con media µ=T, los sumandos positivos y negativos se compensarán unos con otros y se observa a Ck oscilar alrededor de 0 (u otro valor fijo), tal como se muestra en la figura Nº 5. Por el contrario, si la media del proceso no coincide con T, las discrepancias de los valores observados respecto T se acentuarán en un sentido, dependiendo de si T es superior o inferior al verdadero valor de p, y por lo tanto el gráfico CUSUM tendrá una apariencia similar a una de las presentadas en la figura Nº 6.
Figura Nº 5. Gráfico CUSUM cuando el proceso está bajo control con T=p
Fuente: Prat, A. y otros (2004)
Figura Nº 6. Gráfico CUSUM cuando el proceso no está bajo control: a) µ > T, b) µ < T
Fuente: Prat, A. y otros (2004)
Por lo tanto, en un gráfico CUSUM la magnitud del valor representado no tiene tanto interés como en los gráficos Shewart, pues aquí la importancia la tiene la pendiente que forma una trama de puntos. En consecuencia, una trama de puntos horizontales, sea cual sea su magnitud, puede ser interpretada como que en ese período de tiempo no hay evidencia de que la media del proceso no sea T. Por el contrario, el alejamiento de la horizontal da pruebas de cambios en la media del proceso: cuanto mayor sea la pendiente, mayor será la discrepancia entre µ y T.
Por ejemplo, la figura Nº 7 presenta un proceso que se ha mantenido con media, µ=r al comienzo de la implementación del gráfico CUSUM; posteriormente la media del proceso ha pasado a ser más pequeña, volviendo a su valor original T durante un período intermedio. Al final la media del proceso nuevamente cambia a un valor mayor que T. Si se compara está pendiente creciente con la anterior decreciente, se puede sospechar que el último cambio experimentado en la media es de mayor magnitud.
Figura Nº 7. Gráfico CUSUM para la media de un proceso
Fuente: Prat, A. y otros (2004)
Como ya se ha mencionado, el análisis de los gráficos CUSUM para la media de un proceso se hará analizando la pendiente de una trama de observaciones seguidas. Por lo tanto, los límites de control en lugar de estar formados por líneas paralelas estarán formados por dos “pendientes”, que representarán las máximas pendientes permitidas antes de concluir que hay pruebas de que causas asignables están actuando en el proceso provocando un cambio en media superior a la admitida. Prat, A. y otros (2004), exponen que La pendiente de los límites de control dependerá de cuatro factores: "1) La escala del gráfico, 2) La variabilidad innata del proceso, σ, 3) El cambio en el parámetro del proceso que se pretende detectar, y 4) El riesgo que se admite tomar en las decisiones (α)". (p. 267)
En cuanto a la escala del gráfico se recomienda que la escala del eje vertical (o escala CUSUM) tenga la siguiente relación con la escala del eje horizontal (o escala del tiempo), 1 unidad escala horizontal = 2 σe. escala vertical = A, donde σe es la desviación estándar del estadístico del cual se obtienen las sumas acumuladas. Por ejemplo, si σe=5, y se colocan las observaciones en el gráfico CUSUM con una separación de un centímetro en la horizontal, en la escala vertical un centímetro representará 10 unidades de la característica que se mida.
La variabilidad innata del proceso influye directamente en los límites de control: a mayor variabilidad más fácil es encontrar tramas de puntos en pendiente y más acentuadas pueden ser éstas aun estando el proceso bajo control. Por lo tanto, para la construcción del gráfico se ha de estimar σe, o desviación estándar del estadístico obtenido de la muestra. Esta puede tomar diferentes expresiones dependiendo de la característica que se estudie, y puede ser estimada de la misma manera que en los gráficos Shewart.
A continuación se darán las pautas a seguir en la construcción de los gráficos CUSUM. Para ello se hará referencia al caso particular en el que se quiera controlar la media de un proceso que, en el momento de la implementación del CUSUM, esté centrada en el valor nominal p=T.
Tomar muestras de tamaño n a intervalos de tiempo equidistantes y obtener la media, x ̅i, y el recorrido, Ri de la característica a estudio para cada una de las muestras.
Calcular en cada instante la suma acumulada de las discrepancias de los valores obtenidos en 1) con el valor nominal 7=µ.
Obtener una estimación de σ ̂e = se = s /√n. Ésta puede ser obtenida en función del recorrido medio de un número suficientemente grande de muestras como:
Determinar el nivel de probabilidad α, o riesgo que se está dispuesto a asumir en la toma de decisiones, en cada uno de los lados del gráfico. (α= 0.00135 en los gráficos Shewart.)
Definir el factor de escala del gráfico. Es recomendable que:
1 unidad horizontal = 2 se unidad vertical = A
Determinar el menor cambio D en media que se quiere detectar y calcular
δ = D/se
Obtener, a partir de δ, la distancia principal d:
donde β es la probabilidad de no detectar un cambio de D unidades en la media, y el ángulo θ.
A partir de d y 9 construir la plantilla que definen los límites de control, tal como se muestra en la figura Nº 8.
Para la interpretación del gráfico CUSUM, el punto O en la plantilla se ha de colocar en el último valor de Ck obtenido. Si alguno de los puntos anteriores queda cubierto por la plantilla, se interpreta que alguna causa asignable ha entrado en el proceso y ha provocado un cambio en la media superior a D unidades. Además se ha de tener en cuenta que:
El primer punto cubierto por la plantilla muestra el momento en que el proceso ha dejado de estar bajo control;
Si los puntos están cubiertos por encima de la plantilla es que la media del proceso ha disminuido;
Si los puntos están cubiertos por debajo de la plantilla es que la media del proceso ha aumentado.
Figura Nº 8. Gráfico CUSUM con plantilla de control
Fuente: Prat, A. y otros (2004)
CONCLUSIÓN
A nivel general, en los gráficos de tipo CUSUM, si el proceso permanece bajo control para el valor objetivo de la media la suma acumulativa tendrá que variar aleatoriamente alrededor de cero. Por el contrario, si la media cambia aumentando hasta cierto valor > n0, entonces se observará un desplazamiento en esa dirección (positiva) de las sumas acumuladas. Recíprocamente, si la media cambia disminuyendo hasta cierto valor, entonces se observará un desplazamiento en esa dirección (negativa). En consecuencia si se desarrolla una tendencia hacia arriba o hacia abajo en los puntos ubicados en el gráfico, se tendrá que considerar esto una evidencia de cambio de la media del proceso y se deberá buscar alguna causa atribuible.Por otro lado, a nivel de aplicación los gráficos CUSUM son herramientas que permiten realizar seguimiento y detección temprana de las variaciones en proceso de producción, suministrando información significativa y ajustada a los estándares de calidad. Con respecto a su análisis y representación es necesario tomar ciertas precauciones. La primera es que la variabilidad del proceso ha de permanecer constante, para ello se ha de llevar un control aparte de la misma.
En segundo lugar, los gráficos así construidos no son muy eficaces en la detección de cambios graduales en media o en los cambios que surgen y desaparecen rápidamente del proceso. Por lo tanto es recomendable usar los gráficos CUSUM para detectar saltos en la media del proceso y paralelamente los gráficos Shewart para ayudarnos a interpretar otro tipo de anomalías.
BIBLIOGRAFÍA
Hansen, B. y Ghare, P. (1989). Control de calidad: teoría y aplicaciones. 1ra edición. Ediciones Díaz de Santos S.A.Prat, A. y otros (2004). Métodos estadísticos: control y mejora de la calidad. 2da edición. Ediciones UCP.
UOC (2010). Gráficos de Control por Variables (Web). Disponible en: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/SPC_3.pdf [Consulta: 15/05/2016]
Verdoy, P. y otros (2006). Manual de control estadístico de calidad: teoría y aplicaciones. 3ra edición. Publicaciones de la Universidad Jaume I.